3A003 - Equations aux dérivées partielles de la mécanique 2

 

Objectifs de l'Unité d'Enseignement

L’objectif de cet enseignement est d’étudier sur un plan mathématique les équations aux dérivées partielles qui régissent les problèmes classiques de la mécanique : équation de la chaleur, advection- convection-diffusion, ondes, élasticité statique et dynamique, Navier-Stokes. L’accent sera mis sur les formulations variationnelles des équations pour lesquelles on présentera des résultats d’existence et unicité des solutions, avec des applications sur des problèmes de la mécanique, en dimension 1 d’espace. Sur ces bases, la notion de solution approchée sera abordée et des méthodes d’approximation numérique seront introduites.

Contenu de l’Unité d’Enseignement

  • Cadre fonctionnel : espaces de Sobolev en dimension n=1,2,3. Notions de dérivée faible et de trace. (1c)
  • Formulation variationnelle des problèmes aux limites elliptiques. Exemple type : conduction de la chaleur stationnaire, Théorème de Lax-Milgram. Conditions aux limites de type Dirichlet, Neumann et Robin (ou Fourier). (2c)
  • Approximation variationnelle : solutions approchées, estimation d’erreur, principe de la méthode des éléments finis : exemples (1c)

Pré-requis

Fonctions de plusieurs variables - Intégrales multiples – Eléments de topologie : convergence de fonctions, espaces de Hilbert, applications linéaires et continues

Références bibliographiques

Haim Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson 1983

P.A.Raviart et J.M. Thomas, Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Masson 1992

G. Allaire, Analyse numérique et optimisation, Edition Ecole Polytechnique, 2005

Compétences développées dans l’unité

  • Analyser un problème mathématique modélisant un problème de mécanique des milieux continus et vérifier s’il est bien posé.
  • Etablir, par des raisonnements mathématiques dans un cadre abstrait, une formulation équivalente (faible), permettant de construire ensuite des solutions approchées.

21/11/15